TH1: m=-1/2

BPT sẽ là -2x-3/2-3>0

=>-2x>9/2

=>x<-9/4

=>Loại

TH2: m<>-1/2

Δ=(-2)^2-4(2m+1)(3m-3)

=4-4(6m^2-6m+3m-3)

=4-4(6m^2-3m-3)

=4-24m^2+12m+12

=-24m^2+12m+16

Để BPT vô nghiệm thì -24m^2+12m+16<=0 và 2m+1<0

=>m<-1/2 và \(\left[{}\begin{matrix}m< =\dfrac{3-\sqrt{105}}{2}\\m>=\dfrac{3+\sqrt{105}}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(m< =\dfrac{3-\sqrt{105}}{2}\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x+4m+8< 0\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(4m+8\right)\)

\(=4m^2-4m+1-16m+32\)

\(=4m^2-20m+33\)

Để BPT vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4m^2-20m+33< =0\\1>0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2-20m+33< =0\)

=>\(\left(2m-5\right)^2+8< =0\)(vô lý)

=>\(m\in\varnothing\)

BPT đã cho vô nghiệm khi:

\(-x^2+x-m\le0\) nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-4m\le0\)

\(\Rightarrow m\ge\dfrac{1}{4}\)

Xét \(\Delta=\text{​​}\)\(\left(-4m\right)^2-4\left(3m^2-3\right)\)\(=4m^2+12>0\forall m\)

=> Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m\\x_1x_2=3m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{2019}{\left|x_1-x_2\right|}\)\(\Leftrightarrow P^2=\dfrac{2019^2}{\left(x_1-x_2\right)^2}\)\(=\dfrac{2019^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\dfrac{2019^2}{16m^2-4\left(3m^2-3\right)}\)

\(=\dfrac{2019^2}{4m^2+12}\le\dfrac{2019^2}{12}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{2019}{\sqrt{12}}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{2019\sqrt{12}}{12}\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=0

\(\Delta=\left(2m+4\right)^2-4\left(3m+2\right)\)

\(=4m^2+16m+16-12m-8\)

\(=4m^2+4m+8\)

\(=\left(2m+1\right)^2+7>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\x_1x_2=3m+2\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\-2x_1+x_2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2m+1\\x_1+x_2=2m+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2}{3}m+\dfrac{1}{3}\\x_2=2m+4-\dfrac{2}{3}m-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}m+\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=3m+2\)

nên \(\left(\dfrac{2}{3}m+\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{4}{3}m+\dfrac{11}{3}\right)=3m+2\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{8}{9}+\dfrac{22}{9}m+\dfrac{4}{9}m+\dfrac{11}{9}=3m+2\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{8}{9}-\dfrac{1}{9}m-\dfrac{7}{9}=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-m-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(8m+7\right)=0\)

=>m=1 hoặc m=-7/8

f(x) = (m + 1) x 2  - 2(3 - 2m)x + m + 1 ≥ 0 (1)

Với m = -1:

(1) ⇔ -10x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Vậy với m = -1 bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ 0

Suy ra, m = -1 (loại)

Với m ≠ -1:

f(x) = (m +1 ) x 2  - 2(3 - 2m)x + m + 1

Δ' = [-(3 - 2m) ] 2  - (m + 1)(m + 1) = (2m - 3 ) 2  - (m + 1 ) 2

= (2m - 3 + m + 1)(2m - 3 - m - 1) = (3m - 2)(m - 4)

Để bất phương trình (1) vô nghiệm thì:

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình (1) vô nghiệm